موضوع امتحان شهادة التعليم المتوسط في مادة الرياضيات — دورة 2026 منقول حرفيًّا كما قُدِّم للتلاميذ، مرفقًا بالتصحيح النموذجي الكامل بعناصر الإجابة والتنقيط المجزّأ وشبكة تقويم الوضعية الإدماجية — مرجعك الأول للمراجعة والتدريب على النمط الرسمي.
الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية — وزارة التربية الوطنية
الديوان الوطني للامتحانات والمسابقات
امتحان شهادة التعليم المتوسط — دورة: 2026
اختبار في مادة: الرياضيات | المدة: ساعتان
التمرين الأوّل (03 نقاط): A و B ، C أعداد حيث:
A = PGCD(77 ; 65) ، B = √48 − √75 + √147 و C = (√5 + 4) / √5
1) احسب العدد A ، ماذا تستنتج بالنسبة للعددين 77 و 65؟
2) اكتب B على الشكل a√3 حيث a عدد طبيعي.
3) اكتب C على شكل نسبة مقامها عدد ناطق.
التمرين الثّاني (03 نقاط): E عبارة جبرية حيث: E = (2x+3)² − 4x(2x+3)
1) تحقّق بالنّشر والتّبسيط أنّ: E = 9 − 4x²
2) حلّل العبارة E إلى جداء عاملين من الدّرجة الأولى.
3) حل المعادلة: (3+2x)(3−2x) = 0
التمرين الثّالث (02 نقطة): (الشكل مرسوم بأطوال غير حقيقية، لا يُطلب إعادة رسمه على ورقة الإجابة)
EFG مثلّث قائم في E حيث: GF = 12cm و sin EGF = 3/4
M و N نقطتان من القطعتين [GF] و [EF] على التّرتيب حيث: (MN) عمودي على (EF)
1) بيّن أنّ: EF = 9cm
2) بيّن أنّ: 3FM = 4FN
التمرين الرّابع (04 نقاط): المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O ; i , j)
1) علّم النّقط: A(4 ; 1) ، B(2 ; 4) ، C(−4 ; 0) ، D(−2 ; −3)
2) احسب مركّبتي كلٍّ من الشّعاعين AB و DC. ماذا تلاحظ؟
3) احسب الطّولين AC و BD.
4) ما نوع الرّباعي ABCD؟ برّر إجابتك.
الوضعية (08 نقط)
الجزء الأوّل:
الشّكل المقابل مستطيل بُعداه 60m و 40m ، يُمثّل تصميمًا لأرضية مؤسّسة حرفية. الجزء ABCM خاص بالإنتاج والتّخزين والجزء ADM خاص بإدارة المؤسّسة.
حيث: M ∈ [DC] ، DM = x و 0 ≤ x ≤ 60
نرمز بـ S₁ لمساحة الجزء ADM و بـ S₂ لمساحة الجزء ABCM.
1) بيّن أنّ: S₁ = 20x و S₂ = 2400 − 20x
2) حل المتراجحة: 20x ≤ 480 − 4x
3) أوجد أكبر قيمة لـ x حتّى تكون مساحة الجزء الخاصّ بالإدارة لا تتجاوز 20% من مساحة الجزء الخاصّ بالإنتاج والتّخزين.
الجزء الثّاني:
1) حل الجملة: a + b = 40 و 3a − 2b = 0
2) يعمل في هذه المؤسّسة 40 عاملًا من الرّجال والنّساء، حيث عدد الرّجال يساوي (2/3) عدد النّساء. ما هو عدد كلٍّ من الرّجال والنّساء العاملين في هذه المؤسّسة؟
✅ عناصر الإجابة والتنقيط الرسمي
التمرين الأوّل (03 نقاط):
1) حساب A = PGCD(77 ; 65) — باستعمال خوارزمية إقليدس نجد:
77 = 65×1 + 12 ؛ 65 = 12×5 + 5 ؛ 12 = 5×2 + 2 ؛ 5 = 2×2 + 1 ؛ 2 = 2×1 + 0
إذن: A = PGCD(77 ; 65) = 1 (1ن)
الاستنتاج: العددان 77 و 65 أوّليّان فيما بينهما. (0,25ن)
2) لدينا: B = √(16×3) − √(25×3) + √(49×3) = 4√3 − 5√3 + 7√3 = (4 − 5 + 7)√3 فتكون B = 6√3 (4×0,25ن)
3) لدينا: C = ((√5 + 4)×√5) / (√5 × √5) ومنه C = (√5² + 4√5) / √5² إذن: C = (5 + 4√5) / 5 (3×0,25ن)
التمرين الثّاني (03 نقاط):
1) لدينا: E = (2x+3)² − 4x(2x+3) = 4x² + 12x + 9 − (8x² + 12x) = 4x² + 12x + 9 − 8x² − 12x إذن E = 9 − 4x² (1ن مجزّأة)
2) لدينا: E = (2x+3)[(2x+3) − 4x] = (2x+3)(2x + 3 − 4x) إذن E = (2x+3)(−2x+3) (0,5 + 0,25 + 0,25ن)
3) (3+2x)(3−2x) = 0 يعني (2x + 3 = 0) أو (−2x + 3 = 0) ومنه: x = −3/2 أو x = 3/2 (2×0,25 + 2×0,25ن)
التمرين الثّالث (02 نقطة):
1) في المثلّث EFG القائم في E لدينا: sin EGF = EF / GF ؛ بالتّعويض: EF/12 = 3/4 ومنه EF = 9 cm (0,5 + 2×0,25ن)
2) المستقيمان (MN) و (GE) متوازيان لأنّهما عموديّان على نفس المستقيم (EF). ومنه المثلّثان NMF و EGF في وضعية طالس حيث: FN/FE = FM/FG = MN/EG وبالتّعويض نجد: FN/9 = FM/12 ومنه 9FM = 12FN إذن 3FM = 4FN (0,25 + 0,25 + 2×0,25ن)
التمرين الرّابع (04 نقاط):
1) تعليم النّقط A(4 ; 1) ، B(2 ; 4) ، C(−4 ; 0) ، D(−2 ; −3) في المعلم (4×0,25ن)
2) لدينا: AB = (xB − xA ; yB − yA) وبالتّعويض والحساب نجد: AB(−2 ; 3) و DC(−2 ; 3) — نلاحظ أنّ الشّعاعين لهما نفس المركّبتين (AB = DC) (0,25 + 2×0,25 + 0,25ن)
3) لدينا: AC = √((xC − xA)² + (yC − yA)²) وبالتّعويض والحساب نجد: AC = √65 و BD = √65 (0,25 + 2×0,25ن)
4) الرّباعي ABCD مستطيل. التّبرير: AB = DC يعني أنّ الرّباعي ABCD متوازي أضلاع ؛ القطران [AC] و [BD] متقايسان ؛ AB و AD غير متساويين. (0,25 + 0,25 + 0,5ن)
الوضعية الإدماجية (08 نقاط) — الجزء الأوّل:
1) لدينا: S₁ = (AD × DM) / 2 بالتّعويض والتّبسيط نجد: S₁ = 20x ؛ مساحة المستطيل ABCD تساوي 2400 m² ؛ لدينا: S₂ = 2400 − S₁ إذن: S₂ = 2400 − 20x
2) لدينا: 20x ≤ 480 − 4x ومنه: 24x ≤ 480 إذن: x ≤ 20 — حلول المتراجحة هي الأعداد الأصغر من أو تساوي 20.
3) 20% من مساحة ABCM هي: 0,2 × (2400 − 20x) = 480 − 4x ؛ مساحة ADM لا تتجاوز 20% من مساحة ABCM يعني أنّ: 20x ≤ 480 − 4x ؛ من نتيجة السّؤال السّابق فإنّ أكبر قيمة لـ x هي 20.
الجزء الثّاني:
1) من المعادلة (1) نجد: a = 40 − b ؛ وبالتّعويض في المعادلة (2) نجد: 120 − 5b = 0 ومنه: b = 24 ؛ بتعويض قيمة b في المعادلة (1) نجد: a = 40 − 24 = 16. الثّنائية (16 ; 24) هي حل الجملة.
2) ليكن a عدد الرّجال و b عدد النّساء: عدد العاملين في المؤسّسة هو 40 يعني أنّ: a + b = 40 ؛ عدد الرّجال يساوي (2/3) عدد النّساء يعني أنّ: a = (2/3)b أي: 3a − 2b = 0. ومنه الثّنائية (a ; b) هي حل الجملة المعطاة في السّؤال 1. إذن: عدد الرّجال هو 16 وعدد النّساء هو 24.
ملاحظة رسمية: تُقبل كلّ الحلول الصّحيحة الأخرى.
📌 للمراجعة المنهجية: هذا النمط (حساب PGCD + جذور + عبارة جبرية + طالس + معلم + وضعية بالمتراجحة والجمل) هو قالب الامتحان الرسمي الأحدث — أعد حلّه بنفسك ثم قارن بعناصر الإجابة والتنقيط أعلاه.